Основы оптимизации

Хотя в наше время слово "оптимизация" часто употребляется как модное выражение, ее суть основывается на строгих математических принципах.

Оптимизация является своего рода искусством по достижению максимальной выгоды в любом виде деятельности, будь то выбор новой пары ботинок в магазине или управление установкой каталитического крекинга. Задача оптимизации может быть решена достаточно просто, если количество всевозможных вариантов ограничено и эффективность каждого из них заранее известна, однако в некоторых случаях решение такого рода задач может потребовать учета тысяч различных параметров с применением сложных математических методов.

Тем не менее, существуют определенные шаги, являющиеся общими для решения любых задач оптимизации:

• Выбор источников затрат, которые должны быть сведены к минимуму, или максимальное увеличение эффективности узлов системы;

• Определение управляемых переменных или независимых параметров, оказывающих наибольшее влияние на характеристики затрат и эффективности;

• Поиск решения задачи оптимизации, а именно выбор оптимальных параметров, обеспечивающих наименьшие затраты и максимальную выгоду.

Целевая функция (1) в задаче оптимальной ориентации спутниковой антенны учитывает отклонение между фактическим радиальным углом (углом вертикальной ориентации) антенны O и углом, определяющим точное положение спутника над горизонтом, O опт. Видно, что значение функции пропорционально квадрату ошибки позиционирования. Эта функция зависит лишь от одной переменной — O, поэтому она принимает минимальное значение, когда производная сигнала

Предположим, к примеру, что интенсивность спутникового телевизионного сигнала экспоненциально убывает при увеличении угла между направлением ориентации антенны и направлением на спутник. Целевая функция этой задачи оптимизации, при условии, что возможно лишь изменение вертикальной ориентации антенны, представлена на рисунке "Одномерная квадратичная целевая функция".

В случае, когда положение спутника точно известно (что маловероятно) задача может быть легко решена путем ориентации антенны прямо на спутник, тем самым, значение целевой функции падает до нуля. Однако использование метода проб и ошибок является наиболее распространенным в задачах оптимизации повышенной сложности, когда вид целевой функции точно не известен, или аналитическое вычисление оптимальных параметров затруднено.

Методы проб и ошибок хорошо работают до тех пор, пока можно аналитически предположить ряд возможных решений и сравнить их характеристики затрат. Например, допустимо любое положение антенны, при котором она ориентирована на южную часть неба. Оптимальность каждого решения может быть напрямую измерена при помощи датчиков, фиксирующих увеличение входного сигнала.

Применение метода проб и ошибок более эффективно в тех случаях, когда результаты предварительного анализа могут быть использованы для получения более точных последующих оценок. В задаче оптимальной ориентации спутниковой антенны это сводится к учету относительного изменения уровня сигнала в зависимости от направления поворота антенны, что более эффективно, нежели случайная ориентация в надежде обнаружить более сильный сигнал. С математической точки зрения, эта процедура соответствует градиентному методу, описывающему движение по уклону целевой функции для достижения оптимальных значений параметров в ее минимуме.

При поиске самого высокого уровня сигнала, когда в зоне приема одновременно находятся несколько спутников, на графике целевой функции появляются локальные минимумы. Эти минимумы соответствуют направлениям, в которых слабый сигнал излучается отдельным спутником. В этом примере оптимизационный алгоритм сканирования слева направо или справа налево закончит свою работу до обнаружения наиболее высокого уровня сигнала, соответствующего абсолютному минимуму целевой функции

Осложняющие факторы

С другой стороны, метод перебора сотни случайных параметров и выбора из них одного, обеспечивающего минимум целевой функции, может оказаться очень полезным. Построив график, отображающий вклад каждого из параметров в общую характеристику затрат, можно получить диаграмму эмпирической целевой функции. После этого оптимальный параметр может быть выбран, исходя из данных представленных на диаграмме.

Крыша дома не позволяет антенне подняться на угол больший O макс. Поэтому оптимизационный алгоритм должен учитывать лишь те значения параметра, которые меньше O макс, как в уравнении (3). Если спутник, летящий высоко над горизонтом, излучает сигнал очень высокой интенсивности, то в рамках данной задачи решением может быть угол вертикальной ориентации антенны, близкий к ? опт на сколько это позволяют накладываемые ограничения; то есть O = O макс. Нефтехимические заводы часто добиваются оптимальной производительности, используя максимально допустимые значения параметров

Такой подход, названный методом Монте-Карло, особенно полезен в тех случаях, когда целевая функция имеет более чем один локальный минимум, то есть множество точек, в которых значения функции меньше, чем в соседних, но не является абсолютным минимумом (см. рисунок "Локальные минимумы"). Подобно градиентному методу, систематические алгоритмы на базе метода проб и ошибок возвращаются к началу процедуры сканирования после обнаружения первого локального минимума, пренебрегая поиском более подходящего решения в других возможных местах. Для метода Монте-Карло или для любого другого оптимизационного метода, учитывающего все возможные решения, эта проблема не является актуальной.

Спутниковая антенна, представленная на рисунке, может быть повернута на азимутальный угол а, так же как и на радиальный O. Целевая функция квадратично зависит от величины отклонения углов от оптимальных при вращении в каждом из возможных направлений. Крыша дома ограничивает вертикальное вращение углом O макс, в свою очередь стена дома накладывает ограничения на азимутальный угол а макс (уравнения 5-6). Математически эту ситуацию описывает трехмерный чашеобразный график целевой функции с оптимальным значением на "дне" чаши и наиболее достижимым значением чуть повыше с ближней стороны

Ограничения, накладываемые на значения используемых параметров, могут так же усложнить задачу оптимизации. Они могут исключать некоторые частные решения, которые обеспечили бы абсолютный минимум целевой функции. Например, неудачно расположенная спутниковая антенна при своем вращении может случайно нат кнуться на физические препятствия, мешающие ее точной ориентации на спутник (см. рисунок "Ограничения”).

Многопараметрическая оптимизация

Задачи оптимизации становятся сложнее, когда для минимизации затрат и максимизации эффективности необходимо учитывать более чем один параметр. Рассмотрим регулирование азимутального и радиального угла поворота антенны (см. рисунок "Двумерная квадратичная целевая функция").

Эта задача может быть достаточно просто решена путем оптимизации каждого из параметров в отдельности. Соответствующая этому решению процедура выглядит следующим образом: вначале фиксируем произвольное значение радиального угла и вращаем антенну, изменяя азимутальный угол до тех пор, пока не найдем оптимальный, затем вращаем антенну, изменяя лишь радиальный угол, до тех пор, пока не найдем его оптимальное значение. Последовательная оптимизация корректно работает в этом случае только потому, что каждый из параметров вносит индивидуальный вклад в целевую функцию, а ограничения, накладываемые на каждый из параметров, независимы.

Тем не менее, большинство задач многопараметрической оптимизации приводят к учету ограничений, являющихся функциями более чем одного параметра. К примеру, "суммарный поток А и В не должен превышать 380 л в минуту”, в то же время "поток А не должен превышать 265 л в минуту” и "поток В не должен превышать 114 л в минуту”. При этом изменение величины одногоиз параметров приводит к изменению ограничений, накладываемых на другой, поэтому невозможно осуществить оптимизацию каждого из параметров в отдельности.

Угловая водосточная труба накладывает дополнительные ограничения (10б), в которых константы a, b и c зависят от геометрических размеров самой водосточной трубы и спутниковой антенны. Другие два ограничения такие же, как и в предыдущем случае, но целевая функция заменена линейной функцией эффективности B (в, а). Как видно из уравнения (7), эта функция представляет собой сумму самих параметров, а не квадратичных отклонений от оптимального значения. Она построена так, чтобы максимизировать эффективность, а не уменьшить характеристику затрат связанных с приемом слабого сигнала. Возможное решение лежит выше наклонной плоскости и чем ближе к ней, тем оно оптимальнее. Область допустимых значений, согласно наложенным ограничениям, определяется всевозможными реализуемыми положениями спутниковой антенны. Задачи линейного программирования всегда построены так, что параметры, наиболее близкие к оптимальным, могут быть найдены на одной из границ области допустимых значений. В таком случае это будет буквально нижний угол водосточной трубы, в котором спутниковая антенна может быть наиболее точно ориентирована на спутник

Подобные задачи обычно решаются применением метода линейного программирования, использующего для ограничения количества возможных решений вместо целевой функции упрощенную функцию эффективности (см. рисунок "Двумерный метод линейного программирования"). Линейное программирование предусматривает использование алгоритма на базе симплексного метода, позволяющего отыскать оптимальное решение, учитывая сразу все параметры, а не каждый в отдельности.

Задачи управления

Многие из предложенных методов применимы для разработки контроллеров с обратной связью и управления ими. Для расчета оптимального управляющего воздействия фактически все контроллеры используют того или иного рода алгоритмы, основанные на методе проб и ошибок, позволяющие минимизировать целевую функцию в зависимости от разности между заданным значением параметра (контрольной точки) и регулируемым в ходе процесса. Например, для оценки степени минимизации своей целевой функции PID-контроллер использует текущую ошибку (разницу между значением в контрольной точке и текущим), сумму всех предыдущих ошибок и разность значений последних двух ошибок. Если ошибка не равняется нулю, тогда контроллер вычисляет другое предположительное значение оптимального управляющего воздействия, используя при этом некоторые вариации градиентного метода.

Контроллеры, ориентированные на минимизацию дисперсии, используют квадратичную целевую функцию, интегрируя квадрат ошибки по времени. В дополнение к предыстории процесса они используют его модель для определения последующей величины управляющего воздействия, необходимого для минимизации целевой функции. При разработке таких контроллеров используется целевая функция, учитывающая не только отклонение относительно значения контрольной точки, но и ограничения на величину управляющего воздействия.

Регулирование на базе ПИД-алго-ритма является многопараметрической задачей с 3 параметрами:

• Коэффициент пропорциональной составляющей, P;

• Коэффициент интегральной составляющей, I;

• Коэффициент дифференциальной составляющей, D.

Процедуры ручной настройки позволяют осуществлять лишь последовательное регулирование значений параметров для обеспечения максимальной производительности замкнутого цикла, характеризуемой временем нарастания, временем установления, величиной проскока и т.д. К сожалению, в связи с тем, что функция эффективности далека от линейной, ПИД-алгоритм не подходит для одновременной регулировки нескольких параметров, в отличие от метода линейного программирования.

Линейное программирование чаще используется для выбора контрольной точки в случае, когда несколько контроллеров пытаются одновременно выполнить взаимосвязанные задачи. Этот метод позволяет рассчитать значения контрольных точек, максимально увеличивающих общую эффективность многопараметрического процесса. При этом каждый отдельный контроллер достигает заданного значения контрольной точки за счет воздействия на один технологический параметр. Более того, если известны все рабочие диапазоны управляющих циклов, то на задачу могут быть наложены ограничения, гарантирующие, что у всех контроллеров в качестве контрольных точек будут выбраны лишь достижимые значения.

се