Тема с обложки: Введение в частотный анализ

Вэнс Ван Дорен Control Engineering

Инженеры систем управления должны использовать частотный анализ для понимания, разработки и совершенствования систем управления с обратной связью.

Предсказание поведения является ключевым моментом в анализе систем управления с обратной связью. Знание того, как система будет реагировать на действия контроллера, позволяет выбрать подходящий алгоритм приведения регулируемого параметра к заданному значению.

Поведение линейных систем очень легко предсказать, поскольку реакция регулируемого параметра такой системы на комбинацию одновременных воздействий равна сумме его реакций на отдельные воздействия. К тому же, линейные системы обладают статическим коэффициентом усиления K. То есть, если обозначить за B регулируемый параметр в отсутствии внешнего воздействия, общим выражением для регулируемого параметра с учетом воздействия будет Y=KX+B, где X – величина внешнего воздействия. Это соотношение представляет собой прямую линию на плоскости ХУ, отсюда и выражение „линейная система”.

Линейные системы так же предсказуемо реагируют на непостоянные воздействия. Особенно важно, что воздействие, изменяющееся по гармоническому закону, приводит к реакции такой же формы. Действительно, если воздействие контроллера меняется по гармоническому закону с частотой ?, регулируемый параметр системы также будет меняться по гармоническому закону с той же частотой. Данное явление составляет основу частотного анализа поведения систем, хотя реальные контроллеры редко генерируют чистое синусоидальное управляющее воздействие.

Пример линейной системы

Рассмотрим применение частотного анализа на примере детской игрушки, изображенной на рисунке „Простейшая линейная система”. Эта система состоит из груза, подвешенного на пружину с рукоятью. Перемещая рукоять вверх и вниз, ребенок управляет положением груза.

Частотный анализ удобно пояснять на примере игрушки, представляющей собой подвешенный на пружине с рукоятью груз. Если перемещать рукоять почти по гармоническому закону, груз будет колебаться с той же частотой

Любой человек, когда-либо игравший с подобной игрушкой, знает, что если перемещать рукоять примерно по гармоническому закону, груз начнет колебаться с той же частотой, синхронно с движением рукояти. Это происходит на относительно низких частотах, когда пружина не растягивается.

При увеличении частоты колебания груза будут усиливаться, также будет увеличиваться их задержка от колебаний рукояти. На собственной частоте процесса колебания становятся максимально сильными. Собственная частота определяется массой груза и жесткостью пружины.

На частотах, превышающих собственную, амплитуда колебаний груза уменьшается, фаза уменьшается и становится отрицательной (то есть, колебания ослабевают и все больше отстают). На очень высоких частотах груз перемещается очень мало и против движения рукояти.

Графики Боде: АЧХ и ФЧХ

Все линейные системы ведут себя схожим образом. Они преобразуют гармонические колебания на входе в гармонические колебания той же частоты, но другой амплитуды и фазы на выходе. Характер изменения амплитуды и фазы зависит от коэффициента усиления и фазового сдвига системы. Коэффициент усиления определяет, во сколько раз усиливаются гармонические колебания на входе, а фазовый сдвиг – на сколько задерживаются колебания на выходе по отношению к входным.

В отличие от статического коэффициента усиления K, коэффициент усиления и сдвиг фазы зависит от частоты гармонических колебаний на входе. Система с пружиной и грузом слабо меняет амплитуду низкочастотных колебаний. Говорят, что она имеет небольшой низкочастотный коэффициент усиления. Вблизи собственной частоты коэффициент усиления больше низкочастотного, поскольку амплитуда выходных колебаний больше амплитуды входных. Высокочастотный коэффициент усиления практически равен нулю, груз почти совсем не колеблется, когда быстро трясут рукоять.

Графики Боде (АЧХ и ФЧХ) отображают изменение амплитуды в K(?) раз и фазы на F(?) градусов гармонических колебаний с частотой ? рад в секунду, проходящих через систему. АЧХ зависимость K(?) от ? обычно строят в логарифмическом масштабе и называют ЛАЧХ. Графики АЧХ и ФЧХ разных систем отличаются по форме, но если ? стремится к нулю, K(?) стремится к статическому коэффициенту усиления. На очень высоких частотах K(?), как правило, стремится к нулю. АЧХ и ФЧХ системы могут быть построены эмпирически на основе измерений реакции процесса на входные гармонические колебания разных частот или на основе анализа физических характеристик процесса, таких как жесткость пружины и масса груза в нашем примере

Сдвиг фазы системы – аддитивная величина. В нашем примере она стремится к нулю при низких частотах колебаний на входе, так как груз колеблется синхронно с рукоятью при ее медленном перемещении. Затем сдвиг фазы достигает -180 градусов на высоких частотах, когда рукоять и пружина двигаются в противоположных направлениях (отсюда и выражения „двигаться в противофазе”).

Корабль колеблется с частотой ? и амплитудой A, качели колеблются с частотой 3? и амплитудой A/3, а игрушка колеблется с частотой 5? и амплитудой A/5. Траекториями данных колебательных движений являются синусоиды, показанные на отдельных графиках

Результирующая движений игрушки, качели и корабля дает „прямоугольные” колебания с периодом (обратная частоте величина) 1/? и амплитудой, примерно равной А

На рисунке вверху „Графики Боде” (примечание: в англоязычной литературе под графиком Боде подразумеваются амплитудно-частотные (АЧХ) и фазово-частотные характеристики (ФЧХ)) изображены полный спектр коэффициентов усиления и сдвигов фаз процесса с грузом и пружиной на всех частотах от 0.01 до 100 радиан в секунду. Это пример графика Боде, графического метода анализа, разработанного Хендриком Боде из компании Bell Labs в сороковых годах. Он может быть использован для определения амплитуды и фазы выходных колебаний, если входные колебания являются гармоническими с определенной частотой. Чтобы получить значение амплитуды выходных колебаний, нужно просто умножить амплитуду колебаний на входе системы на коэффициент усиления, соответствующий нужной частоте. Чтобы получить фазу выходных колебаний, нужно добавить соответствующий сдвиг фаз к фазе входных колебаний.

Теорема Фурье

Коэффициенты и сдвиги фаз, представленные на графике АЧХ и ФЧХ, полностью характеризуют процесс. В них содержится вся информация, необходимая опытному инженеру систем управления для предсказания поведения процесса и его реакции не только на гармоническое, но и на произвольное внешнее воздействие.

Такой анализ возможен благодаря теореме Фурье, которая утверждает, что любой сигнал, может быть представлен в виде бесконечной суммы синусов. Математик Жозеф Фурье доказал свою знаменитую теорему в 1822 году и представил алгоритм вычисления частоты, амплитуды и фазы каждой синусоиды в этой сумме, известный под названием „преобразование Фурье”.

Для теоретического предсказания реакции системы на некоторую совокупность воздействий, можно воспользоваться преобразованием Фурье совместно с АЧХ и ФЧХ:

1) Использовать преобразование Фурье для математического разложения данного внешнего воздействия на теоретические гармонические компоненты, или частотный спектр.

2) Использовать АЧХ и ФЧХ, чтобы определить изменение каждой гармонической компоненты, если бы она проходила через систему отдельно. То есть, учесть изменения амплитуды и фазы, зависящие от частоты каждой компоненты.

3) Использовать обратное преобразование Фурье, чтобы объединить результирующие компоненты в единый сигнал.

Поскольку обратное преобразование Фурье изначально является аддитивной операцией, линейность системы гарантирует, что сумма воздействий теоретических гармонических компонент, вычисленных в первом пункте, равна воздействию исходного сигнала. Таким образом, объединенный сигнал, найденный в третьем пункте, отражает реакцию регулируемого параметра системы на данное внешнее воздействие.

Необходимо отметить, что на всех этапах приведенной процедуры отдельные гармонические компоненты не генерируются физически контроллером и не строятся на графиках. В этом смысле анализ в частотной области абстрактен. С точки зрения математики, удобно преобразовать сигнал из временной области в частотную с помощью преобразования Фурье (или подобным ему преобразованием Лапласа), эффективно решить задачу с помощью АЧХ и ФЧХ или других методов частотного анализа, затем преобразовать результат обратно во временную область.

Большинство задач управления процессами, к которым применим данный метод, можно решить и непосредственно во временной области, но в частотной области вычисления сильно упрощаются. Расчет спектра регулируемого параметра на основе АЧХ, ФЧХ и спектра внешнего воздействия, полученного с помощью преобразования Фурье, в приведенном примере требует выполнения лишь операций умножения и вычитания.

Может оказаться не вполне очевидным, что правильная комбинация синусоид дает в сумме сигнал нужной формы, как следует из теоремы Фурье. Приведем пример.

Снова рассмотрим игрушку с пружиной и грузом, качели и корабль в открытом океане. Будем считать, что корабль качается на волнах по гармоническому закону с частотой ? и амплитудой A. Также предположим, что качели колеблются с частотой в три раза больше и с втрое меньшей амплитудой, а ребенок качает игрушку с частотой в пять раз больше и с амплитудой в пять раз меньшей. На рисунке „Независимые гармонические колебания” показано, как выглядели бы эти движения в отдельности.

Теперь предположим, что ребенок сидит на краю качели, установленной на палубе корабля. Если бы отдельные гармонические колебания совместились нужным образом, абсолютное движение игрушки описывалось бы функцией, напоминающей прямоугольную, как показано на рисунке „Совместные гармонические колебания”.

Это не совсем реалистичный пример, но он показывает, что сумма гармонической функции, одной трети ее третьей гармоники и одной пятой части пятой гармоники аппроксимирует периодическую прямоугольную зависимость с частотой ? и амплитудой порядка А. Аппроксимация улучшается, если добавить еще одну седьмую часть седьмой гармоники и одну девятую часть девятой гармоники и т.д. На самом деле, теорема Фурье показывает, что если суммирование производить до бесконечности, результат будет в точности равен прямоугольной функции амплитуды A. Теорема Фурье также может быть использована для разложения непериодических сигналов в бесконечную сумму синусов.

Немного более серьезной теории *

Рассмотрим непрерывный во времени сигнал x(t), тогда при условии его интегрируемости во времени можно рассчитать спектр сигнала X(f) с помощью комплексного преобразования Фурье по формуле:

где i – мнимая единица, f – частота сигнала в Герцах.

Модуль этой величины

называется спектральной амплитудой, а величина

– фазой сигнала.

Существует возможность из спектра восстановить временную функцию с помощью обратного преобразования Фурье, которое записывается следующим образом:

Квадрат спектральной амплитуды

называется спектральной плотностью мощности сигнала. Согласно теореме Парсеваля выполняется закон сохранение энергии сигнала по времени и спектру:

Рассмотрим пример, приведенный в статье: общее колебание груза является суммой трех гармонических колебаний, которое при определенных условиях может быть прямоугольным. Для сравнения на рисунке приведен спектр прямоугольного периодического сигнала с частотой 10 Гц, рассчитанный с помощью преобразования Фурье. Действительно, присутствуют гармоники на частотах 10, 30, 50, 70 Гц и т.д. до бесконечности с постоянно уменьшающейся амплитудой.

Спектральный анализ чрезвычайно широко используется в промышленности. Рассмотрим классическую задачу выделения периодического сигнала из шума. На верхнем рисунке приведен график сильно зашумленного гармонического сигнала (амплитуда шума в три раза превышает амплитуду гармонического сигнала). На первый взгляд периодический сигнал обнаружить невозможно. Но если посмотреть спектр сигнала, то прекрасно видна гармоническая компонента на частоте 100 Гц.

Обсуждая возможности частотного анализа, невозможно обойти стороной временные и частотные окна, спектральные фильтры, дискретное преобразование Фурье, но об этом в следующий раз.

* автор раздела „Немного более серьезной теории” – Павел Михеев, ответственный редактор Control Engineering Россия

ce