Блез Паскаль — гениальный математик и системотехник

Блез Паскаль (рис. 1) появился на свет в коммуне на юге центральной части Франции, в городе Клермон-Ферран 19 июня 1623 г. [1, 2, 3, 4]. Будущий гений рос и воспитывался в многодетной семье (у Паскалей было трое детей) весьма незаурядными родителями. Главный кормилец, Этьен Паскаль, был сборщиком налогов, а его супруга вела домашнее хозяйство, однако когда мальчику было три года, она скончалась, и отец Блеза, увлекавшийся математикой, принял смелое решение дать домашнее образование своему отпрыску, проявлявшему любознательность с раннего детства. Изучая «Начала» Эвклида, Паскаль самостоятельно освоил геометрию. Видя успехи сына, отец стал брать его с собой на математический семинар монаха Марина Мерсена (Marin Mersenne), завершивший домашнее образование Паскаля и вдохновивший его уже в 17 лет опубликовать свое первое исследование о конических сечениях, в котором он сформулировал теорему Паскаля с 64 следствиями и заложил, таким образом, основы современной проективной геометрии. Математике была посвящена и последняя опубликованная при жизни ученого работа — о геометрической фигуре циклоиде.

Рис. 1. Блез Паскаль (1623–1662)

Наиболее значительным же вкладом Паскаля в эту науку стало основание теории вероятности. В последние годы жизни Паскаль увлекался популярной в то время игрой в кости, которой он занимался для отдыха от напряженного умственного труда и отвлечения от болей, постоянно его преследовавших. В 1654 г. он вступил в переписку с математиком Пьером де Ферма (Pierre de Fermat) из Тулузы по поводу возможности предсказания выигрыша в азартных играх, и в результате этой переписки появилось само понятие вероятности [2, 4]. С его помощью Паскаль нашел, в частности, вероятность выпадания двух шестерок при заданном числе n бросков двух обычных костей с цифрами от 1 до 6 на их гранях [3, 4].

Для этого ему пришлось прежде всего оценить общее число k благоприятных исходов (т. е. вариантов) совпадающих цифр на гранях (в нашем случае k = 2) при n бросках двух костей. В комбинаторике это число, называемое сочетанием из n по k, определяется формулой, составленной Ньютоном в 1665 г. в знаменитом биноме Ньютона [5]:

где ! — знак факториала.

Паскаль задолго до Ньютона использовал для простого определения этого числа изящный математический инструмент — треугольник Паскаля, заложив, таким образом, основы комбинаторики (рис. 2) [2, 4].

Рис. 2. Треугольник Паскаля

В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси (на рис. 2 показаны 10 первых строк бесконечной таблицы). Например, при 10 бросаниях костей n =10 и выпадении двух одинаковых цифр k = 2, чтобы найти , нужно взять 10-ю строку и 2-е число в ней — получится 45.

Так, используя этот треугольник, Паскаль вычислил, что при десятикратном бросании костей вероятность выпадения двух шестерок (это выигрышная комбинация) равна 2,95% и что разумный риск игрока, равный 50%, достигается лишь при 25 бросках [4].

Отметим, что Паскаль был глубоко религиозным человеком, написавшим ряд богословских работ. Он считал, что перед каждым человеком стоит важный вопрос — есть ли Бог, и предлагал решение этой задачи в виде игры вроде «орел или решка», известное под названием «ставки или пари Паскаля» [1, 2, 3]. Используя математическую логику при построении диаграммы (рис. 3), он пришел к выводу, что наиболее выгодная стратегия в этой игре — верить, что Бог есть [1]. Если вы выиграете, вы выиграете все (рай, вечное блаженство); если вы проиграете, то ничего не теряете, кроме, конечно, самоограничения и соблюдения заповедей Божьих. В противном случае вас может ожидать ад, т. е. вечные муки.

Рис. 3. Пари Паскаля

Паскаль отличался тем, что доводил свои теоретические изыскания до практического приложения. Так и увлечение играми привело его к изобретению почти идеального датчика случайных чисел — рулетки, игры, которая уже почти 400 лет волнует азартные головы в казино всего мира (рис. 4) [2].

Рис. 4. Игральная рулетка

Перейдем к физике. Погружение в нее Паскаль начал с повторения опыта знаменитого итальянского ученого Эванджелиста Торричелли (Evangelista Torricelli) с ртутной трубкой (рис. 5) [1, 6].

Рис. 5. Опыт Торичелли

В этом опыте стеклянная трубка с одним запаянным концом наполнялась ртутью из чашки и потом в эту чашку переворачивалась. При этом ртуть в трубке опускалась до уровня 760 мм. Это убедило Торичелли в том, что подъем ртути вызван атмосферным давлением, т. е. весом столба воздуха. Относительно пустого пространства вверху трубки (торичеллиево пространство) существовали разные мнения, среди которых преобладало утверждение Аристотеля о том, что природа боится пустоты [6].

Поднимаясь с этим инструментом, называемым теперь ртутным барометром, на гору вблизи Парижа, Паскаль убедился в уменьшении атмосферного давления по мере набора высоты и предложил метод определения высоты подъема на любую возвышенность по показаниям такого барометра (т. е. изобрел первый альтиметр) [2].

Проводя опыты по сжатию жидкости и газа в замкнутом объеме, Паскаль сформулировал основной закон гидростатики, носящий его имя, — о том, что давление на жидкость или газ передается в любую точку без изменений во всех направлениях [7]. Таким образом, Паскаль выяснил, что торичеллиево пространство — это просто сжатый воздух. Кроме того, он пришел к выводу, что атмосфера Земли имеет конечную высоту, вне которой существует вакуум.

Верный себе, Паскаль нашел практическое применение этому закону, изобретя медицинский шприц и гидравлический пресс, содержащий два гидроцилиндра с поршнями разного диаметра (рис. 6) [2].

Рис. 6. Гидравлический пресс

По закону Паскаля давление жидкости в левом и правом цилиндрах одинаково, но площадь правого поршня значительно больше площади левого, поэтому, прикладывая к левому поршню небольшое усилие, можно легко поднять многотонный груз. Паскаль сравнивал действие такого пресса с механическим рычагом.

Пожалуй, самым значительным и широко известным детищем Паскаля стала сконструированная им в 19 лет механическая машина — калькулятор для выполнения арифметических операций с шестиразрядными десятичными числами [1, 2, 3, 8]. Он начал работать над ее созданием в 1642 г., желая помочь отцу в его многотрудных расчетах налогов. Машина была названа Паскалиной (рис. 7), почиталась за чудо и вызывала восхищение общества и даже королевских персон [8].

Рис. 7. Машина Паскалина

В ней он использовал представление чисел от 0 до 9 в виде угла поворота зубчатого колеса, предложенное в конце XV в. гениальным Леонардо Да Винчи. В дошедшем до нас рисунке Да Винчи изобразил зубчатый понижающий редуктор, состоящий из 13 пар (ступеней) колес с передаточным отношением 1:10 в каждой паре [9]. Если к валу первой пары приложить на каком-либо плече усилие в 1 кг, то выходной вал теоретически поднимет груз в 10¹³ кг. В принципе этот механизм можно использовать и для сложения чисел, причем каждая пара будет соответствовать определенному разряду десятичного числа. Однако при введении каждого разряда числа придется проворачивать весь редуктор, что практически невозможно из-за трения в зубчатых зацеплениях. Нововведением Паскаля было то, что он расцепил зубчатые колеса каждой ступени редуктора и ввел отдельный механизм переноса разряда при его переполнении.

Машина Паскаля (рис. 7) была выполнена в виде латунной коробочки длиной 36 см. Операции производятся с помощью шести независимых счетных валов со счетными колесами, расположенными внутри коробочки, которые поворачиваются с помощью установочных дисков (1) для ввода разрядов слагаемых, видимых на поверхности счетных барабанов через окошечки (2), закрываемые планкой (3) [8].

Счетные колеса вместе с механизмом переноса разряда показаны на рис. 8 на примере двух колес (слева (4) — для младшего разряда, справа (5) — для старшего), сидящих на соответствующих счетных валах, поворачивающихся установочными дисками (1) по часовой стрелке [8]. Колеса сделаны, как видно из рисунка, не зубчатыми, а цевочными с 10 штифтами каждое, причем нулевой штифт c цифрой 0 отмечен риской (6). Поворот счетного колеса старшего разряда (5) на 1/10 оборота выполняется собачкой (7) массивного рычага (8) с вилкой (9), которые качаются с обратной стороны колеса (4).

Рис. 8. Механизм переноса Паскаля. Младший разряд слева, старший — справа

При сходе вилки (9) в верхнем положении с нулевого штифта c цифрой 0, как показано на рис. 8, рычаг (8) падает под собственным весом в нижнее положение, поворачивая собачкой (7) колесо (5) на 1/10 оборота [8]. Обратный подъем рычага (8) в верхнее положение происходит по мере поворота колеса (4), у которого девятый 9 и нулевой 0 штифты выполнены удлиненными и выступают с обратной стороны колеса (4).

Для предотвращения самопроизвольного поворота счетных колес по часовой стрелке предусмотрены рычаги (10) и (11) с собачками. Однако это делает невозможным реверс счетных колес при вычитании, для реализации которого Паскаль придумал оригинальный метод с дополнением до числа 9, широко применяемый в ЦВМ до сих пор.

Идею вычитания с дополнением предложил гениальный соотечественник Паскаля Рене Декарт, согласно которому вычитание двух чисел можно заменить их сложением с дополнением [10]. В Паскалине это выполнялось следующим образом [8]. В окошечках (2), как показано на рис. 9, видны два ряда цифр разрядов: нижний (в данном случае закрытый планкой (3) для введения разрядов числа при сложении и верхний — дополнение этих цифр до 9, используемых при вычитании. В качестве примера на рис. 9 показано вычитание числа 132 из 7896, т. е. 7896 – 132 = 7764.

Рис. 9. Пример вычитания числа методом с дополнением

Сначала путем вращения установочных дисков (1) по часовой стрелке в верхний ряд вводится уменьшаемое число 7896, затем в нижнем ряду аналогично сложению добавляется вычитаемое 132, а в верхнем ряду появляется итоговое число 7764. Таким образом, вычитание выполняется подобно сложению. На этой машине можно было и умножать числа путем многократного сложения, вводя вручную каждый раз заново значения всех разрядов, однако это было весьма трудоемко.

Общеизвестно стремление Паскаля к коммерческому использованию своей счетной машины, для чего он добился королевской привилегии и изготовил в течение десяти лет 50 машин различных модификаций, более десятка из которых были проданы, а 8 дошли до наших дней [2]. Тем не менее эта десятичная машина не получила широкого распространения в бухгалтерских расчетах, прежде всего потому, что тогда денежная система Франции была очень архаичной. Налоги платились в ливрах, су и денье, причем 1 ливр = 20 су = 240 денье. И лишь после перехода во время Французской революции на десятичную систему, когда 1 франк стал равен 100 сантимам, идеи Паскаля были реализованы в первых коммерческих арифмометрах начала XIX в. [11]. Кроме того, при штучном производстве Паскалина была очень дорогой, и ручной счет многочисленных клерков, получавших тогда ничтожную зарплату, был гораздо выгоднее, а сами клерки боялись потерять свою работу [1, 3, 8].

Паскаль считается также изобретателем общественного транспорта, превратившим предмет роскоши, карету, в омнибус, который широко использовался на улицах Парижа [2]. На проездных билетах для омнибуса еще долгое время печатался портрет Паскаля.

Личной жизни Блез Паскаль практически не имел [1, 2], он не был женат и не оставил детей. Единственной его любовью была наука, а единственным занятием — творчество. Всю жизнь болел, но врачей отвергал, говоря: «Болезнь — это естественное состояние христиан» [2]. Скончался в возрасте 39 лет после того, как злокачественная опухоль из его желудка распространилась на мозг.

Вклад Блеза Паскаля в науку и технику отмечен рядом выдающихся достижений:

• В 1654 г. в результате переписки французских ученых Паскаля и Ферма по поводу проблем игры в кости были определены основные понятия теории вероятности.
• В те же годы Паскаль предложил удобный инструмент, упрощающий расчет вероятности событий в комбинаторных играх, — арифметический треугольник. Он также изобрел первый генератор случайных чисел — популярную до настоящего времени игральную рулетку.
• Именем Паскаля назван основной закон гидростатики (1653 г.), определяющий одинаковое давление жидкости или газа во всех точках замкнутого объема, практическими приложениями которого стали гидравлический пресс и медицинский шприц, изобретенные гениальным французом.
• Первым наиболее известным механическим калькулятором стала машина Паскалина, использующая идею суммирующего зубчатого механизма Леонардо Да Винчи. Она была создана Паскалем в 1642 г., выпущена в десятках экземплярах и обеспечивала не только суммирование, но и вычитание с дополнением.